星迈网 “积分”变身的解密“简史”

积分变换在近两百年的时间里已被成功应用于解决应用数学、数学物理学以及工程科学中的诸多问题星迈网。

Laplace变换与Fourier变换

从历史角度来看，包括拉普拉斯变换和傅里叶变换在内的积分变换的起源可以追溯到18世纪80年代拉普拉斯（1749-1827）在概率论方面的杰出研究成果，以及1822年傅里叶（1768-1830）所著的《热的解析理论》这一具有里程碑意义的著作。实际上，拉普拉斯的经典著作《概率分析理论》包含了拉普拉斯变换的一些基本结果，这是数学文献中现存最古老且最常用的积分变换之一。这种变换已被有效地用于求解线性微分方程和积分方程。

另一方面，傅里叶的著作提供了现代数学中关于热传导、傅里叶级数和傅里叶积分及其应用的理论。在他的著作中，傅里叶提出了一个广为人知的惊人结果，即所谓的傅里叶积分定理。在陈述这一结果之前，他给出了一系列示例，说明在有限区间上定义的任意函数都可以用三角级数来展开，这现在被普遍称为傅里叶级数。为了将他的新想法推广到定义在无限区间上的函数上，傅里叶发现了一种积分变换及其逆变换公式，现在它们被公认为傅里叶变换和逆傅里叶变换。

然而，傅里叶的这一著名思想被拉普拉斯和柯西（1789-1857）所知晓，由于他们的一些早期工作涉及了这种变换。另一方面，泊松（1781-1840）也在研究水波传播时独立地使用了变换方法。然而，是莱布尼茨（1646-1716）首次在微积分中引入了符号方法（symbolic method）这一概念。随后，拉格朗日（1736-1813）和拉普拉斯也对符号方法做出了重大贡献，这些方法后来被称为运算微积分（operational calculus）。尽管拉普拉斯变换和傅里叶变换都是在19世纪被发现的，但英国电气工程师海维赛德（1850-1925）通过将其用于解决电路和系统的普通微分方程，并进而发展出现代运算微积分，使拉普拉斯变换变得非常流行。

Fourier变换表达式： Laplace变换表达式：

有必要指出的是，拉普拉斯变换本质上是傅里叶变换作用于一类定义在正实轴上的函数的特殊情况，但它比傅里叶变换更简单。首先，由于其指数衰减核，其中，拉普拉斯变换的收敛性问题要简单得多。其次，拉普拉斯变换是复变量的解析函数，其性质可以通过复变函数理论更方便地研究。最后，傅里叶积分公式通过一个复数路径积分的形式，给出了拉普拉斯变换和逆拉普拉斯变换的定义，这个积分可以通过柯西留数定理以及在复平面中对路径的变形来求解。

而柯西的工作中包含了Fourier积分定理的指数形式不仅如此，柯西还给出了关于算子所对应函数的公式这在本质上导致了运算微积分的现代形式。

他著名的论文《方程符号的使用备忘录》提供了对符号方法的严格描述。傅里叶积分定理的深刻意义被19世纪和20世纪的数学家和数学物理学家所认识。确实，这一定理被视为现代数学分析中最基本的结果之一，并在物理学和工程学中有广泛的应用。开尔文和泰特很好地阐述了该定理的普遍性和重要性，他们说：“……傅里叶定理不仅是现代分析中最优美的成果之一，而且可以说为处理现代物理学中几乎所有深奥问题提供了不可或缺的工具。仅以声振动、电信号沿电报线的传播以及地壳的热传导为例，若不借助此定理星迈网，这些问题在普遍性上将难以处理，而这只是对其重要性的一种微弱表达。”

运算微积分的发展

19世纪末期，海维赛德认识到运算微积分的力量和成功，并首次将运算方法作为解决电报方程和常系数二阶双曲型偏微分方程的强大有效工具。他在1892年和1893年发表于伦敦《皇家学会会刊》的两篇题为《物理数学中的运算方法》的论文中发展了运算方法。他1899年关于《电磁理论》的著作也包含了运算方法在电路或网络分析中的应用。海维赛德用代替微分算子，并将其视为普通代数法则中的元素。他的运算方法的发展很少关注数学严谨性问题。在海维赛德的方法通过傅里叶或拉普拉斯变换理论得到验证之前，其广泛使用引发了许多争议。

这与20世纪20年代狄拉克在量子力学的逻辑表述中广泛使用函数作为最有用的数学工具所引发的争议类似。事实上，狄拉克（1902-1984）曾说：“所有电气工程师都熟悉脉冲的概念，而函数只是用数学表达脉冲的一种方式。”狄拉克对赫维赛德在电磁理论中运算微积分的研究，他作为电气工程师的训练，以及对电脉冲现代理论的深刻理解，似乎对他巧妙发展现代量子力学产生了巨大影响。

显然，运算方法的思想源自拉普拉斯、傅里叶和柯西的经典工作。受到这一卓越成果的启发，海维赛德发展了他新颖但严谨性不足的运算数学。尽管海维赛德的微积分作为最有用的数学方法之一取得了惊人成功，但由于缺乏数学严谨性，同时代的数学家在他生前几乎不认可他的工作。在海维赛德诞辰一百周年纪念会上关于海维赛德与运算微积分的演讲中，库珀揭示了围绕海维赛德著名工作的一些争议性问题，并宣称：“作为数学家，他具有非凡的计算技巧和发现便捷计算方法的天赋。他极大地简化了麦克斯韦理论，根据赫兹的说法，被称为麦克斯韦方程的四个方程首先是由海维赛德给出的。他是向量分析的奠基人之一……”

回顾海维赛德的微积分的历史，库珀对这一主题的早期历史进行了相当完整的叙述，同时记录了数学家们对海维赛德的贡献的不同观点。根据库珀的说法，关于运算微积分由海维赛德发现的广为流传的说法仍存在争议。尽管存在争议，人们普遍认为海维赛德的真正成就是发展了运算微积分，这是应用数学、数学物理学和工程科学中最有用的数学工具之一。在此背景下，瑞利的以下引述从物理学角度来看似乎最为贴切：“在数学研究中，我通常采用那些对物理学家来说自然而然的方法。纯粹数学家会抱怨（必须承认有时是合理的）严谨性不足。但这个问题有两面性。因为，尽管在纯粹数学中保持统一的高标准很重要，但物理学家有时可以满足于从他们的角度来看相当令人满意和具有结论性的论证。对于习惯于不同思维方式的物理学家来说，纯粹数学家更严格的程序可能显得不那么具有说服力。此外，在许多困难情况下，坚持最高标准将意味着由于所需的空间而完全排除该主题。”

“……To his mind, exercised in a different order of ideas, the more severe procedure of the pure mathematician may appear not more but less demonstrative. And further, in many cases of difficulty to insist upon highest standard would mean the exclusion of the subject altogether in view of the space that would be required.”

除了一小部分纯粹数学家外，所有人都认为海维赛德的工作是一项非凡成就，尽管他未能为他的运算微积分提供严格的证明。为海维赛德辩护时，费曼的观点值得引用：“然而，重点应该更多地放在如何快速简便地进行数学运算，以及哪些公式是正确的，而不是数学家对严格证明方法的兴趣。”

03星迈网

对运算微积分的评价

运算微积分的发展在某种程度上类似于17世纪微积分的发展。发明微积分的数学家们当时也未能提供严格的表述。严格的表述直到19世纪才出现，尽管在过渡期间，那些非严格的微积分演示仍然令人钦佩。众所周知，20世纪的数学家们为海维赛德的运算微积分提供了严格的基础。因此，无论从哪个标准来看，海维赛德都因其卓越工作而值得高度赞誉。

运算微积分发展的下一阶段特征是通过严格证明来验证启发式方法。在这一阶段，布罗姆维奇（1875-1930）首次成功引入复变函数理论，为海维赛德的微积分提供了正式证明。除了对该主题的诸多贡献外，他还给出了海维赛德展开定理的正式推导，并正确解释了海维赛德的运算结果。现代方法通过拉普拉斯变换和广义函数理论（）为海维赛德的运算微积分提供了严谨支撑。

在结束关于运算微积分历史发展的讨论时，我们需要谨慎对待海维赛德的工作的争议性评价。从应用数学的角度来看，海维赛德的运算微积分是一项重要成就。为支持这一观点，以下是E. T. Whittaker在海维赛德讣告中对其工作的评价：“回顾历史……我们应当将运算微积分与庞加莱对自守函数的发现、里奇对张量计算的发现并列为19世纪最后25年三大最重要的数学进展。”尽管海维赛德很少关注数学严谨性问题，但他认识到运算微积分是应用数学科学中最有效、最有用的数学方法之一，这自然引出了对积分变换的严格数学分析。事实上，基于严格数学基础的傅里叶变换或拉普拉斯变换方法，本质上等同于现代运算微积分。

其他的积分变换

还有许多其他积分变换，包括Mellin变换、Hankel变换、Hilbert变换和Stieltjes变换，这些变换被广泛用于求解涉及常微分方程和偏微分方程的初边值问题，以及数学、科学和工程中的其他问题。虽然梅林（1854-1933）对其变换及其反演公式进行了详细讨论，但黎曼（1826-1866）在其关于素数的著名论文中最早认识到Mellin变换及其反演公式。黎曼的学生赫尔曼·汉克尔（1839-1873）引入了以贝塞尔函数为核的Hankel变换，当假设具有圆对称性时，该变换可以很容易地从二维Fourier变换导出。Hankel变换在求解柱坐标下的边值问题时自然出现。

虽然希尔伯特变换以二十世纪最伟大的数学家之一大卫·希尔伯特（1862-1943）命名，但该变换及其性质主要由哈代（1877-1947）和爱德华·蒂奇马什（1899-1963）进行研究。荷兰数学家斯蒂尔杰斯（1856-1894）在研究连分数时引入了斯蒂尔杰斯变换。希尔伯特变换和斯蒂尔杰斯变换都出现在数学、科学和工程的许多问题中。前者用于解决流体力学、信号处理和电子学中的问题，而后者则用于求解积分方程和矩问题。

最后，我们要对Radon变换、Gabor变换和小波变换的历史做些说明。Radon变换由奥地利数学家约翰·拉东（1887-1956）于1917年提出，该理论最初属于纯数学研究，直到20世纪中叶才在医学成像、地球物理学和计算机视觉等领域展现出重要应用价值。医学CT（计算机断层扫描，Computed Tomography）的核心数学基础就是Radon变换及其逆变换。Gabor变换由匈牙利物理学家丹尼斯·加博尔（1900-1979）于1946年提出，最初用于改进电子显微镜的分辨率，并因此贡献获得1971年诺贝尔物理学奖。Gabor变换在语音识别、图像处理、神经科学和量子力学等领域有广泛应用。例如，在音频信号分析中，它能够精确刻画声音的时频特性；在计算机视觉中，Gabor滤波器被用于纹理分析和人脸识别。作为时频分析的奠基性工作之一，Gabor变换为后续小波变换的发展提供了重要启示，至今仍是信号处理领域的核心方法。小波变换由法国地球物理工程师让·莫莱发现，作为一种新的数学工具用于研究1982年的地震信号分析。它是最通用的线性积分变换之一，可用于解决数学、科学和工程中的各种问题。

总结

积分变换的核心思想是通过数学上的“变换”将原问题映射到一个新的空间（通常称为变换域），在这个空间中，原问题的求解或分析变得更加简单或直观。积分变换的一般形式为：其中是核函数，决定了变换的性质。以Laplace变换或Fourier变换为例，可以实现将原问题中的微分、积分、卷积等复杂运算转化为变换域中的代数运算（如乘法、加法）。它通过分部积分将微分算子转移到核函数上，而指数函数是微分算子的特征函数，所以用指数核作变换时，微分运算自然表现为特征值的乘法。这也是之前一期文章中提到的关于自然常数e及以e为底的指数函数的作用。